El Valor Esperado o Esperanza Matemática.
Es el número que
define la idea de valor medio de un fenómeno o evento aleatorio.
Cuando la variable aleatoria es discreta, el valor esperado es igual a la suma de
la probabilidad de cada posible suceso aleatorio por el valor de dicho suceso.
Por lo tanto es el resultado que se “espera” cuando se repite el experimento
aleatorio en las mismas condiciones un gran número de veces.
Para una
variable aleatoria discreta con valores posibles
la esperanza se calcula como:
Para una
variable aleatoria continua el valor esperado o esperanza
se calcula mediante la integral de todos los valores de la función de densidad f(x):
También se suele
representar la fórmula por µ = E[X], que representa en centro de gravedad o de masa de la distribución de
probabilidad.
Ejemplo:
Los futuros 50
graduandos de la carrera de Ingeniería de Sistema de la UNEFA núcleo Ocumare
del Tuy desean realizar una rifa para recolectar fondos que serán utilizados
para pagar los gastos y aranceles por concepto de graduación, deciden utilizar
uno de los sorteos del Triple Chance y se reparten 20 tiques a cada estudiante
para que lo venda a un precio de Bs. 10. El jugador que resulte ganador se
llevará un premio de Bs. 2000.
¿Determine cuanto
se espera ganar o perder si se participa en la lotería?
Se X la ganancia
que un jugador espera obtener al participar en la lotería, si compra un tique,
entonces los valores que puede tomar son Bs. 1990 (Bs. 2000 del premio menos
bs. 10 del boleto) cuando gana y Bs. -10 cuando pierde.
La distribución
de probabilidad esta dada por:
|
X = xi
|
1990
|
-10
|
|
f(xi)
|
1/1000
|
999/1000
|
Implica
Se espera que el jugador pierda si participa en la lotería.
Continuando con el ejercicio, un estudiante por
razones de trabajo y de tiempo, decidió compra los 20 tiques que le corresponde, ¿cual es la
ganancia esperada para ese estudiante?.
|
X = xi
|
1800
|
-200
|
|
f(xi)
|
20/1000
|
980/1000
|
Implica
Se espera que el
estudiante pierda aún si compra los 20 tiques.
La Varianza
Junto con el valor esperado
constituyen dos características fundamentales para determinar el comportamiento
de una distribución de probabilidad, porque
proporcionan una descripción completa de la forma en que se comporta: la medida
de tendencia central y la de dispersión. Sin embargo al usar la variancia como
medida de dispersión o se presenta una dificultad. Las unidades con que se miden
los valores que toma la variable aleatoria X son lineales, por
ejemplo kilogramos, metros, litros, etc., por lo que m = E(X) también
será lineal, pero la variancias está en unidades cuadráticas, como kilogramos
elevados al cuadrado, metros elevados al cuadrado, litros elevados al cuadrado,
etc.
En vista de lo
anterior, si queremos expresar la medida de dispersión en las mismas unidades
en que se miden los valores de la variable aleatoria X, debemos
tomar la raíz cuadrada positiva de la variancia. A esta cantidad se le conoce
con el nombre de desviación estándar y se representa con s, σ.
Desviación Estándar
Es una medida de
dispersión que nos indica cuanto pueden alejarse los datos del valor promedio,
se define como la raíz cuadrada de la varianza,
se denota por la letra s o
Para las variables aleatorias discretas se tiene
Ejemplo:
En un casino existe el juego de lanzar dos dados, determine el valor promedio
de los puntos que puede tener un jugador al participar
|
xi
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
||
|
f(xi)
|
1/36
|
1/18
|
1/12
|
1/9
|
5/36
|
1/6
|
5/36
|
1/9
|
1/12
|
1/18
|
1/36
|
||
|
(xi)2
|
4
|
9
|
16
|
25
|
36
|
49
|
64
|
81
|
100
|
121
|
144
|
||
|
E(X)
|
xif(xi)
|
1/18
|
1/6
|
1/3
|
5/9
|
5/6
|
1 1/6
|
1 1/9
|
1
|
5/6
|
11/18
|
1/3
|
7
|
|
E(X2)
|
(xi)2f(xi)
|
1/9
|
1/2
|
1 1/3
|
2 7/9
|
5
|
8 1/6
|
8 8/9
|
9
|
8 1/3
|
6 13/18
|
4
|
54,83
|
La varianza es igual a:
Y la desviación
estándar es
Ejercicios:
1.
Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 Bs. si aparecen una o dos
caras. Por otra parte pierde 5 Bs si no aparece cara. Determinar la esperanza
matemática del juego y si éste es favorable.
|
xi
|
2
|
1
|
-5
|
||
|
f(xi)
|
1/4
|
1/2
|
1/4
|
||
|
xif(xi)
|
1/2
|
1/2
|
-1
1/4
|
E(X) =-1/4
|
2.
Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos
bolívares como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos
bolívares como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la
esperanza matemática del juego
|
xi
|
1
|
2
|
3
|
-4
|
5
|
-6
|
|
|
f(xi)
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
|
|
xif(xi)
|
1/6
|
1/3
|
1/2
|
-
2/3
|
5/6
|
-1
|
E(X) = 1/6
|
3.
Si una persona compra un tique de una rifa, en la que puede ganar de Bs.
5000 ó un segundo premio de Bs.
3000 o un tercer premio de bs. 2000 con
probabilidades de: 0.001, 0.002 y 0.003
respectivamente. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por tique?
|
xi
|
5000
|
3000
|
2000
|
||
|
f(xi)
|
0,001
|
0,002
|
0,003
|
||
|
xif(xi)
|
5
|
6
|
6
|
E(X)
= 17
|
