Esperanza Matemática. Valor Esperado

El Valor Esperado o Esperanza Matemática.

Es el número que define la idea de valor medio de un fenómeno o evento aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, el valor esperado es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio por el valor de dicho suceso. Por lo tanto es el resultado que se “espera” cuando se repite el experimento aleatorio en las mismas condiciones un gran número de veces.

Para una variable aleatoria discreta con valores posibles 

  y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad 

 la esperanza se calcula como:

Para una variable aleatoria continua el valor esperado o esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores de la función de densidad f(x):

También se suele representar la fórmula por µ = E[X], que representa en centro de gravedad o de masa de la distribución de probabilidad.

Ejemplo:

Los futuros 50 graduandos de la carrera de Ingeniería de Sistema de la UNEFA núcleo Ocumare del Tuy desean realizar una rifa para recolectar fondos que serán utilizados para pagar los gastos y aranceles por concepto de graduación, deciden utilizar uno de los sorteos del Triple Chance y se reparten 20 tiques a cada estudiante para que lo venda a un precio de Bs. 10. El jugador que resulte ganador se llevará un premio de Bs. 2000.

¿Determine cuanto se espera ganar o perder si se participa en la lotería?

Se X la ganancia que un jugador espera obtener al participar en la lotería, si compra un tique, entonces los valores que puede tomar son Bs. 1990 (Bs. 2000 del premio menos bs. 10 del boleto) cuando gana y Bs. -10 cuando pierde.

La distribución de probabilidad esta dada por:

X = xi	1990	-10
f(xi)	1/1000	999/1000

  Implica

Se espera que el jugador pierda si participa en la lotería.

  

Continuando con el ejercicio, un estudiante por razones de trabajo y de tiempo, decidió compra los 20 tiques que le corresponde, ¿cual es la ganancia esperada para ese estudiante?.

X = xi	1800	-200
f(xi)	20/1000	980/1000

  Implica 

Se espera que el estudiante pierda aún si compra los 20 tiques.

La Varianza

Junto con el valor esperado constituyen dos características fundamentales para determinar el comportamiento de una distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersión. Sin embargo al usar la variancia como medida de dispersión o se presenta una dificultad. Las unidades con que se miden los valores que toma la variable aleatoria X son lineales, por ejemplo kilogramos, metros, litros, etc., por lo que m = E(X) también será lineal, pero la variancias está en unidades cuadráticas, como kilogramos elevados al cuadrado, metros elevados al cuadrado, litros elevados al cuadrado, etc.

En vista de lo anterior, si queremos expresar la medida de dispersión en las mismas unidades en que se miden los valores de la variable aleatoria X, debemos tomar la raíz cuadrada positiva de la variancia. A esta cantidad se le conoce con el nombre de desviación estándar y se representa con s, σ.

Desviación Estándar

Es una medida de dispersión que nos indica cuanto pueden alejarse los datos del valor promedio, se define como la raíz cuadrada de la varianza, se denota por la letra s o

 Para las variables aleatorias discretas se tiene

 

                Ejemplo: En un casino existe el juego de lanzar dos dados, determine el valor promedio de los puntos que puede tener un jugador al participar

	xi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	f(xi)	1/36	1/18	1/12	1/9	5/36	1/6	5/36	1/9	1/12	1/18	1/36
	(xi)2	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
E(X)	xif(xi)	1/18	1/6	1/3	5/9	5/6	1  1/6	1  1/9	1	5/6	11/18	1/3	7
E(X2)	(xi)2f(xi)	1/9	1/2	1  1/3	2  7/9	5	8  1/6	8  8/9	9	8  1/3	6 13/18	4	54,83

La varianza es igual a:

Y la desviación estándar es σ = 2,41

Ejercicios:

1.    Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 Bs. si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 Bs si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

	xi	2	1	-5
	f(xi)	1/4	1/2	1/4
	xif(xi)	1/2	1/2	-1  1/4	E(X) =-1/4

2.    Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos bolívares como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos bolívares como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego

xi	1	2	3	-4	5	-6
f(xi)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6
xif(xi)	1/6	1/3	1/2	-  2/3	5/6	-1	E(X) = 1/6

3.    Si una persona compra un tique de una rifa, en la que puede ganar de Bs. 5000  ó un segundo premio de Bs. 3000  o un tercer premio de bs. 2000 con probabilidades de: 0.001,  0.002 y 0.003 respectivamente. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por tique?

	xi	5000	3000	2000
	f(xi)	0,001	0,002	0,003
	xif(xi)	5	6	6	E(X) = 17