Definición Axiomática de Probabilidad

Definición Axiomática de Probabilidad de Kolmogorov (1933)

1.    Axioma 1: P(A) ≥ 0 para todo evento A

2.    Axioma 2: P(S) = 1
. Axioma 3:  0<= P(E)<= 1 para todo evento E de S

3.    Axioma 4: si A₁, A₂, A₃, . . ., A_n son eventos disjuntos, o sea P (A_i ∩ A_j) = 0, con i≠j, entonces

Partiendo de la definición axiomática anteriormente descrita se tienen las siguientes propiedades

·         Propiedad del conjunto vacío. La probabilidad del conjunto vacío es igual a cero. Este teorema se puede demostrar fácilmente con el ejemplo de lanzar un dado, en este caso si queremos determinar la probabilidad de que salga un 9, esta será 0, porque no se encuentra dentro del espacio muestral.

·         Propiedad del evento complementario. Sea A un suceso aleatorio cualquiera entonces la propabilidad de que no ocurra A, denotada por P(Ā) es igual a:

Considérese el ejemplo del lanzamiento de un dado perfectamente balanceado. Determinar la probabilidad de que no salga el 2 en el primer lanzamiento.

Tomemos A el evento que salga 2. Entonces

 

·         Propiedad de la diferencia. Si A y B no son eventos disjuntos es decir 
      P(A ∩ B) ≠ 0, entonces La probabilidad de que ocurra el evento B pero no ocurra el A es igual a:

Ejemplo: Un estudio clínico en pacientes hipertensos en un Hospital de Caracas (HC) determinó que estos se ubican en dos grandes grupos los que presentan obesidad y los que fuman. Donde el 36% son obesos, el 45% son fumadores y el 15% son fumadores y obesos. Determine la probabilidad de que si se selecciona un paciente al azar este pertenece sólo al grupo de los fumadores.

Sea A el evento pacientes hipertensos obesos, B pacientes hipertenso fumadores, entonces tenemos

P(A) = 0.36, P(B) = 0.45 y  P(A ∩ B) = 0.15

P(B - A) = 0.45 - 0.15 = 0.30

·         Si A esta contenido en B entonces:

·          La probabilidad de la unión de dos sucesos: Sean A y B dos eventos, tales que P(A ∩ B) ≠ 0 para todo A,B contenido en S, entonces  P(AUB) es igual a: 

P(AUB) = P(A) + P(B) -  P(A ∩ B)

Siguiendo con el ejemplo del ejercicio anterior, cual es la probabilidad de que si selecciona un paciente hipertenso al azar este pertenece al grupo de los obesos o al grupo de los fumadores

P(AUB) =  0.36 + 0.45 - 0.15 = 0.66

·         Probabilidad de la unión de tres sucesos:  Sean A, B y C tres eventos aleatorios cualquiera entonces P(AUBUC) es igual a: 

·         Probabilidad condicionada: Sea S un espacio muestral, A y B dos sucesos con P(A) > 0 entonces, la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ya ocurrió A se define como:

·         Sucesos independientes: Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de B dado A es igual a la probabilidad de B.

P(B|A) = P(B)

También se puede expresar de la siguiente forma: